根據《中華人民共和國刑法》和《中華人民共和國刑事訴訟法》的有關規定，對刑事訴訟死刑復核通知規定如下：（一）中級人民法院判處死刑的第一審案件，被告人不上訴，并經高級人民法院復核同意判處死刑的；高級人民法院判處死刑的第一審案件，被告人不上訴的，和判處死刑的第二審案件；判處死刑緩期2年執行的罪犯，在死刑緩期執行期間，抗拒改造情節惡劣的，或者又犯新罪的，以及發現了判決時所沒有發現的罪行的，經查證屬實，由高級人民法院依法判決執行死刑的案件，都應當報送本院核準。（二）凡報送死刑復核案件，必須做到犯罪事實清楚，證據確實、充分，適用法律正確，訴訟文書齊備。中級人民法院判處死刑的第一審案件，被告人不上訴的，高級人民法院在復核的時候，必須提審被告人，核對事實和證據。